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Rôle du lexique courant dans la structure de la démonstration mathématique

The role of usual words in the structure of mathematical demonstrations
Jean-Marc Mangiante
p. 71-80

Résumés

Les programmes d’apprentissage du français scientifique ou de ce que l’on appelle les « technolectes », sont souvent justifiés pour permettre la compréhension d’un lexique spécialisé réputé précis, sans ambiguïté et monosémique. Il apparaît au contraire que les termes scientifiques du discours mathématique notamment, lorsqu’ils sont issus du langage courant, présentent aussi un caractère ambigu dont la compréhension relève d’une approche méthodologique particulière. Le lexique courant prend une dimension spécifique dans le langage mathématique en structurant le déroulement discursif de la démonstration. L’identification de son rôle induit ainsi une démarche facilitant la compréhension des textes mathématiques.

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Texte intégral

1. Introduction : aspect monoréférentiel du lexique scientifique

  • 1 L’étude s’appuie en particulier sur un corpus de textes tirés des programmes des filières scientifi (...)

1Le lexique scientifique est souvent distingué du lexique dit général par son caractère supposé monosémique par rapport à une polysémie, une ambiguïté du second. L’article se propose de nuancer cette affirmation, notamment à la lumière de quelques exemples issus des sciences appliquées et des mathématiques1.

2En effet, si les termes scientifiques se différencient du lexique courant, c’est surtout par leur fréquence d’emploi plus réduite et le niveau de spécialisation des locuteurs qui les utilisent. Néanmoins, il est intéressant de cerner les contours de cette monosémie qui leur est généralement attribuée.

3Il apparaît qu’il faut plutôt parler de « tendance » à la monosémie ou de monosémie relative. Si l’on essaie de déterminer plus exactement la signification de certains termes spécialisés des sciences appliquées, cette nuance s’accentue. Ainsi, dans le domaine de l’industrie, le mot « salage », spécifique au domaine de la production laitière, qui désigne l’action de saler afin de permettre la conservation, peut être utilisé dans bien d’autres domaines, avec le même objectif, dans le « salage d’un porc » (dictionnaire Robert) par exemple ou dans un but très différent : le « salage de la chaussée », pour en faire fondre la neige. De même, l’affinage qui, dans le domaine laitier, désigne l’achèvement de la maturation des fromages (on parle de « cave d’affinage » dans ce domaine), s’emploie aussi en métallurgie où il désigne la purification, le raffinage des métaux, ou dans l’industrie textile où il est associé à la « dernière façon », les dernières retouches, on dira le « finissage » ou « l’affinage du lin » par exemple.

4Dans l’industrie nucléaire, le terme « réacteur » désigne le dispositif à l’intérieur duquel se produisent et s’entretiennent les réactions de fission nucléaire, mais il est utilisé en chimie où il est un récipient dans lequel est réalisée une réaction chimique et en mécanique où il est employé comme moteur ou propulseur à réactions.

5On pourrait multiplier les exemples qui tous révèlent que la signification du terme scientifique dépend du domaine dans lequel il est employé. Le lexique scientifique et technique est donc davantage monoréférentiel que monosémique, puisqu’il ne se réduit à une seule signification que dans une discipline précise d’un domaine scientifique.

6Mais le terme scientifique peut même prendre des significations différentes au sein d’un même domaine de référence. Par exemple, pour citer à nouveau le cas du mot « réacteur », dans le domaine spécialisé de la physique nucléaire, dans une centrale productrice d’énergie atomique, le réacteur désigne à la fois le lieu de la centrale où s’effectue la réaction nucléaire et l’ensemble du dispositif, la « machinerie » pour reprendre une appellation vulgarisée, qui provoque la réaction. C’est donc le contexte qui va déterminer, dans un discours de cette discipline, si l’on évoque les éléments du dispositif ou le lieu géographique au sein de la centrale. Le locuteur sera donc amené à utiliser un terme à fonction métalinguistique pour lever l’ambiguïté dans sa reformulation : le « bâtiment réacteur », ou le « cœur du réacteur » pour citer une autre possibilité. On parle alors de « lexies terminologiques ambiguës » (Gentilhomme 1984) au sein d’une même discipline scientifique.

2. Cas du lexique mathématique

7On relève même dans un domaine aussi réputé rigoureux que les mathématiques des « lexies terminologiques ambiguës ». On peut citer le terme caractéristique « tangente » qui désigne en trigonométrie un nombre, comme le sinus ou le cosinus. On dira : « calculer la valeur de la tangente (tg) » ; mais il désigne aussi en géométrie une droite, on dira que tel segment ou droite nommée AM « tend vers la tangente en A ».

8Or, on ne peut parler ici de termes monoréférentiels et distinguer ainsi deux domaines séparés dans les mathématiques, à savoir la trigonométrie et la géométrie. Une telle distinction apparaîtrait erronnée car de trop nombreux liens unissent ces deux secteurs. Le nombre désigné par le terme « tangente » apparaît dans l’équation représentant la droite appelée aussi « tangente ». Cette divergence caractéristique et sémantique d’un même lexème au sein d’un même domaine est encore plus visible avec des termes mathématiques plus accessibles aux profanes, comme « carré » et « cube ».

9En effet, le carré en géométrie est un quadrilatère dont les angles sont droits et les quatre côtés égaux, mais en algèbre il désigne le produit d’un nombre par lui-même. Là encore, le lien entre les deux existe : l’aire d’un carré est justement le carré de la mesure du côté. De la même façon, le volume d’un cube est le cube de la mesure de l’arête.

10Par conséquent, dans un discours mathématique, seul le contexte permettra de différencier la bonne sémie du terme spécialisé. Or, c’est dans le contenu linguistique du discours, au sein des structures syntaxiques, que le contexte est déterminé. C’est quand le terme spécialisé est « réinséré » dans le discours (Gentilhomme 1984) que sa monosémie est en quelque sorte rétablie par l’auteur.

11La monosémie n’est pas seulement tributaire du contexte discursif, elle l’est aussi du contexte historique. Placé en diachronie, le discours scientifique révèle une certaine évolution des termes spécialisés, et donc le caractère évolutif de la monosémie.

12On peut citer par exemple les différences de définition de certaines notions mathématiques comme la « continuité », les « séries », les « limites », les « fonctions », entre les traités d’analyse du mathématicien Laurent en 1887 ou de Valiron en 1942.

13Dans d’autres disciplines scientifiques, l’apport de mots nouveaux est souvent lié à l’évolution des sciences et des techniques ou à des événements majeurs qui ont marqué l’opinion. Ainsi la conquête spatiale a favorisé l’apparition de nouvelles expressions spécialisées, comme « module lunaire », « alunir », dont la diffusion est directement issue du premier voyage sur la lune en 1969. De même, une campagne publicitaire réalisée dans les années 60 a popularisé le mot « enzyme », terme de biologie datant de la fin du XIXe siècle (Gilbert 1973).

14La différentiation du lexique scientifique par rapport au lexique courant est rendue d’autant plus difficile qu’un certain nombre de lexies terminologiques recoupent des chaînes de mots dits d’usage courant, ou métalinguistiques : si ... alors, si et seulement si, vrai, quelconque, simple, nécessaire, suffisant, soit, on peut, il existe, quelque soit, ou..., qui revêtent, au sein du discours scientifique, des acceptions spécialisées.

15En mathématiques, ces termes se distinguent de ceux qui appartiennent strictement, de par leur fréquence et leur emploi, à cette discipline scientifique et qui tendent vers la monosémie : abscisse, bissectrice, hypothénuse, affine, isocèle, équilatéral, orthogonal... Enfin, ils se distinguent de mots issus des mathématiques qui, utilisés dans d’autres domaines vont prendre un sens différent, dérivé, bien souvent à connotation métaphorique : on parlera en épidémiologie du « vecteur d’une infection » ou en psychologie « d’équation de personnalité ».

16Ces mots du langage courant prendront ici un sens différent, souvent déterminé par le contexte discursif, en particulier par les mots qui les précèdent ou les suivent. Ainsi, l’adjectif « remarquable » qui signifie en langage courant « qui attire l’attention, est digne d’être remarqué », prend des sens différents en mathématiques selon les substantifs qu’il qualifie. En algèbre, on parle « d’identités remarquables » pour désigner des produits de binômes effectués et réduits : (a+b) (c+d) = ac+ad+bc+bd, par exemple.

17Au-delà de la différence sémantique liée au positionnement du terme dans le discours mathématique, l’intérêt réside dans l’étude des conditions de ce glissement qui s’est ainsi opéré d’une sémie courante vers une sémie spécialisée. Il est intéressant, à ce sujet, de citer le travail accompli par Stella Baruk dans son Dictionnaire de mathématiques élémentaires qui, justement, tente de cerner la relation entre ces différentes sémies. L’adjectif « remarquable », pour S. Baruk (1995 : 1074-1075), s’applique en mathématiques à des objets, sujets ou résultats, dignes d’être remarqués. En effet, les « identités remarquables » du modèle précédent, appelées aussi « égalités remarquables » ou « produits remarquables » sont des formules d’algèbre résultant des calculs littéraux dans lesquels des binômes, voire parfois des trinômes, constituent les paramètres des opérations de multiplication, caractérisées par leur complexité et nécessitant de refaire les calculs plusieurs fois. Les identités remarquables permettent une « appréciable économie d’énergie », selon l’expression de S. Baruk, en allégeant la procédure du calcul, en le réduisant, notamment grâce à la règle de la distributivité. Ce qui est « remarquable », c’est justement cette réduction des termes du calcul algébrique, et la possibilité de « prévoir » tout calcul analogue.

18Dans le même ordre d’idée, le verbe « simplifier », dans le discours mathématique, prend une signification différente tout en conservant son sens du lexique courant. Stella Baruk révèle son évolution singulière. Ce verbe, contrairement à la majorité des mots du lexique courant qui ont été introduits par la suite dans un domaine spécialisé, a suivi un parcours inverse. Issu du latin « simplex » signifiant « formé d’un seul élément », il est un mot de langue savante, rare jusqu’au XVIIIe siècle et qui devient courant au XIXe. Il appartient aussi, désormais, au langage mathématique avec un sens que nuance ainsi S. Baruk : « le sens de simplifier, c’est-à-dire rendre plus simple, est parfois assez vague, quand on ne sait pas, explicitement, ce qu’il faut rendre plus simple et comment » (1995 : 1124).

19En effet, dans le discours mathématique, le verbe « simplifier » ne signifie quelque chose qu’accompagné d’un substantif complément sur lequel porte son action, différente selon les cas. Ainsi « simplifier une fraction » signifie la réduire, jusqu’à la rendre, éventuellement, irréductible, ce qui se traduit par l’élimination des nombres premiers communs à la décomposition en produit de nombres premiers du numérateur et du dénominateur. La simplification d’une égalité ou d’une équivalence logique, en conservant son principe d’égalité, procède de la même manière, par l’élimination des facteurs communs à chaque produit situé de part et d’autre de l’égalité. Par contre « simplifier un calcul » avant de l’effectuer consiste à alléger son écriture : supprimer les signes des nombres positifs quand ils sont seulement prédicatoires, supprimer des parenthèses ou les signes x entre les binômes écrits entre parenthèses : (a+b) x (c+d) = (a+b) (c+d), par exemple.

20C’est encore le contexte discursif qui permet l’accès à la sémie spécialisée correcte. De même des locutions en apparence courantes se révèlent, dans le discours mathématique, constituer les articulations très fortes d’un raisonnement : « on pose », « on a », « il vient », par exemple, signifient davantage que les simples faits de poser, d’avoir ou de laisser venir une donnée quelconque. Ce qui est posé est une donnée de départ incontournable dans le raisonnement, « on a » s’emploie pour une étape importante du raisonnement issue d’un calcul ou d’une déduction, « il vient » introduit un résultat, une conséquence.

21C’est ainsi que ce lexique devenu par le contexte discursif un lexique de spécialité joue un rôle d’articulation logique, de cohésion énonciative au sein de la démonstration mathématique.

3. Place du lexique dans la démonstration mathématique

22Sur le plan grammatical, le discours mathématique privilégie certaines structures linguistiques qui organisent la logique du discours. Ces ressources linguistiques spécifiques signalent les étapes du raisonnement, des démonstrations et des résolutions de problèmes, rédigées précisément sous la forme d’une suite de phrases qui s’enchaînent selon une logique serrée : étant donné que, soit, si... alors, donc... On peut aussi signaler la valeur causale du participe présent : « le triangle ABC ayant deux angles égaux, sachant que ... », par exemple.

Étude d’une démonstration mathématique sur les nombres irrationnels (type ∏ ou √2, nombres qu’on ne peut écrire sous forme de fractions irréductibles)

Figure 1. Démonstration mathématique sur les nombres irrationnels

Figure 1. Démonstration mathématique sur les nombres irrationnels

Tableau 1. Tableau relevant les connecteurs démonstratifs utilisés au cours de la démarche

Tableau 1. Tableau relevant les connecteurs démonstratifs utilisés au cours de la démarche

23La présence de ces connecteurs logiques permet au lecteur d’accéder à la dynamique argumentative du discours et d’en parcourir les différentes étapes sans perdre le fil conducteur sémantique. Les termes du langage courant employés dans le discours mathématique ne sont pas présents pour familiariser le lecteur mais constituent un usage particulier des ressources de la langue.

24Les relations possibles entre sens courant et sens mathématique ne se réduisent pas à une règle unique et absolue de passage de l’un à l’autre, elles diffèrent d’une expression à l’autre. Dans certains cas, par exemple, le sens usuel du terme sert d’image et facilite la compréhension (Fougères 1993) : « l’ordre croissant », le « centre d’un cercle », « l’image d’une droite »...

25Parfois, c’est l’inverse qui se produit et le sens courant brouille la représentation de l’objet mathématique : le mot « hauteur » n’est pas nécessairement associé à la verticalité, l’adjectif « positif » doit parfois être précisé par « strictement positif », un « sommet » n’est pas forcément vers le haut... De plus, la notion de synonymie mérite d’être explicitée car elle ne s’applique pas vraiment. Les termes « inverse » et « opposé » qui sont synonymes en langage courant ne le sont certainement pas en mathématique : l’inverse d’un nombre a est 1/a, soit la fraction inverse, tandis que l’opposé de a est - a, c’est-à-dire le signe opposé selon la distinction positif/négatif.

26En mathématiques, certaines tournures rigides structurent les parties du discours démonstratif : on sait que annonce l’hypothèse de départ, or précède le théorème, donc démarre la conclusion... Mais de nombreuses similitudes apparaissent entre la démonstration mathématique et le texte de type argumentatif en général : mots de liaison utilisés, organisation apparente du texte (chaîne de causalité en particulier). Cependant, la démonstration mathématique, modèle de la plupart des démonstrations scientifiques, présente des différences essentielles avec le discours de type argumentatif.

27Dans une argumentation, il est toujours préférable d’ajouter plusieurs arguments pour rendre le point de vue défendu le plus inattaquable possible par l’interlocuteur, tandis que cet ajout, dans le discours mathématique, affaiblit la démonstration : apporter deux raisons là où une suffit risque de brouiller le raisonnement et de rendre incorrecte la démarche pour un autre interlocuteur spécialiste. C’est encore au niveau des objectifs de communication que se situe la ligne de fracture entre ces deux types de textes : le texte argumentatif cherche à changer l’opinion de l’interlocuteur par tous les moyens, dont certains ne sont pas nécessairement linguistiques (gestes, ton, voix...) ; la démonstration, au contraire, cherche à s’assurer qu’un résultat est bien la conséquence de théorèmes ou de règles scientifiques déjà connus, elle s’apparente en quelque sorte à une vérification ou à une expérimentation dans les sciences appliquées.

28Par conséquent, les tournures linguistiques du discours vont exprimer, à chaque étape de la démonstration, l’interrogation du locuteur quant à la validité des propositions qu’il utilise : s’agit-il bien d’une hypothèse, est-ce un théorème déjà démontré, est-ce bien la conclusion que l’on peut tirer ? Les deux démarches aboutissent au même résultat : arriver à une conclusion au terme d’un raisonnement. Elles utilisent souvent des articulateurs communs, c’est donc surtout par la forme discursive qu’elles diffèrent. Le tableau suivant (Duval et Egret 1990) résume cette différence fondamentale.

Tableau 2. Différence entre argumentation et démonstration

Tableau 2. Différence entre argumentation et démonstration

Source : Duval & Egret 1990

4. Conclusion : prolongements vers la didactique des langues de spécialité

29Si nous insistons, dans cet article, sur les spécificités lexicales et syntaxiques du discours mathématique, notamment avec les points de passage du lexique courant au vocabulaire mathématique, c’est surtout parce qu’il détermine dans une large mesure les divers discours scientifiques, voire spécialisés. Les besoins langagiers des domaines professionnels s’orientent de plus en plus vers la compréhension de discours spécialisés, techniques, pour laquelle la prise d’informations et son classement selon des objectifs pragmatiques sélectifs s’avèrent déterminants.

30Or la compétence de lecture de textes scientifiques ne se confond pas avec l’acquisition de toutes les informations contenues dans le texte mais procède au contraire d’une sélection d’informations qui est spécifique au locuteur-apprenant.

31Cette spécificité relève de la place et du statut de l’apprenant par rapport au contexte auquel renvoie le texte et dont la compréhension est nécessaire à la mise en place de la meilleure sélection.

  • 2 Exemple cité par Guilbert (1973).

32La spécificité du terme scientifique doit donc être recherchée dans une double relation, avec la réalité exprimée et avec celui qui l’exprime. Le terme scientifique revêt ainsi une fonction sociale liée à celle du locuteur-apprenant et à sa personnalité. Ce dernier accèdera, s’il est spécialiste, à la signification du terme dans tous les aspects contenus dans sa définition, autre que pour le locuteur non-spécialiste. Pour le chimiste2, par exemple, le cuivre est essentiellement un corps simple déterminé par son symbole CU, son poids atomique de 63,54, son numéro atomique 29, son degré de fusion de 1084 cent., alors que, pour le profane il est seulement un métal reconnaissable par sa couleur et les objets dans la composition desquels il entre (fils électriques...).

33Les termes les plus fréquents appartiennent au lexique courant parce qu’ils permettent la réalisation de tous les types de communication, tandis que les termes spécialisés ne sont connus que d’une minorité de locuteurs car ils ne sont utilisés que dans des situations de communication où n’interviennent que des spécialistes du domaine concerné.

34Pour l’enseignant-concepteur de programmes de français scientifique et mathématique en particulier, la connaissance du statut de l’apprenant par rapport au type de discours sera déterminante dans le choix des activités pédagogiques.

35Une première étape didactique permettant une meilleure lecture sélective des énoncés consistera en une contextualisation des termes spécifiques, par exemple par des renvois à des énoncés différents en faisant varier les contextes où ils sont employés : comparaisons de phrases où ils apparaissent, textes à trous à compléter, détermination des termes courants de « l’environnement sémantique » immédiat.

36En corollaire, le repérage de la sémie correcte s’effectuera aussi par une identification des expressions qui permettent de lever toute ambiguïté et qui assurent la structure des discours de reformulation.

37Enfin, s’agissant des énoncés de démonstration mathématique, la mise en évidence de la structure discursive s’avère nécessaire. L’enseignant procèdera par un tableau de correspondance entre les étapes de la démonstration et le repérage des « mots inducteurs » (Charnay & Mante 1997) introductifs. Il pourra recourir à des exercices de rédactions de démonstrations à partir de données et de définitions fournies dans un ordre aléatoire aux apprenants et sans connecteur.

38Ces derniers seront guidés dans leur démarche par le schéma-type de résolution de problème appliqué et adapté ici à la démonstration mathématique (Charnay et Mante 1997 : 63) :
1. Lecture : sélection des données (contextualisation des termes spécialisés) ;
2. Recherche d’une procédure : « suite ordonnée d’opérations définie pour un dispositif et une tâche donnés, dont l’exécution a pour objectif de faire passer d’un état initial à un état final ou but » (Hoc 1987) ;
3. Instanciation de la procédure : application de la procédure aux données ;
4. Rédaction de la démonstration : utilisation des mots inducteurs introductifs des différentes étapes.

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Bibliographie

Baruk, S. 1995. Dictionnaire de mathématiques élémentaires. Lonrai : Seuil.

Charnay, R. & M. Mante. 1997. Préparation à l’épreuve de mathématiques du concours de professeur des écoles. Paris : Hatier.

Duval, D. & M.-E. Egret. 1990. Didactique des mathématiques. IREM de Rennes.

Fougères, D. 1993. Les Cahiers Pédagogiques n° 316.

Genthilhomme, Y. 1984. « Les faces cachées du discours scientifique ». Langue Française n° 64. Paris : Larousse.

Gilbert, P. 1973. « Remarques sur la diffusion des mots scientifiques et techniques dans le lexique commun ». Langue Française n° 17. Paris : Larousse.

Guilbert, L. 1973, « La spécificité du terme scientifique et technique ». Langue Française n° 17. Paris : Larousse.

Hoc, J.-M. 1987. Psychologie cognitive de la planification. Paris : PUF.

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Notes

1 L’étude s’appuie en particulier sur un corpus de textes tirés des programmes des filières scientifiques du secondaire (manuel de mathématiques de 1e et terminale S par exemple) et de filières professionnelles.

2 Exemple cité par Guilbert (1973).

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Table des illustrations

Titre Figure 1. Démonstration mathématique sur les nombres irrationnels
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Titre Tableau 1. Tableau relevant les connecteurs démonstratifs utilisés au cours de la démarche
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Titre Tableau 2. Différence entre argumentation et démonstration
Crédits Source : Duval & Egret 1990
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Pour citer cet article

Référence papier

Jean-Marc Mangiante, « Rôle du lexique courant dans la structure de la démonstration mathématique », Cahiers de l’APLIUT, Vol. XXIII N° 2 | 2004, 71-80.

Référence électronique

Jean-Marc Mangiante, « Rôle du lexique courant dans la structure de la démonstration mathématique », Cahiers de l’APLIUT [En ligne], Vol. XXIII N° 2 | 2004, mis en ligne le 23 décembre 2012, consulté le 26 mai 2017. URL : http://apliut.revues.org/3347 ; DOI : 10.4000/apliut.3347

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Auteur

Jean-Marc Mangiante

Jean-Marc Mangiante est Docteur en Sciences du langage à l’Université de Provence et Attaché de coopération linguistique à l’Institut Français de Rabat.
jmmangiante@yahoo.fr

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Droits d’auteur

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